\section{2006甲A}
一、（$30'$）两个线性算符$\hat{A}$和$\hat{B}$满足下列关系：$\hat{A}^2=0,\quad \hat{A}\hat{A}^\dagger+\hat{A}^\dagger \hat{A}=1,\quad \hat{B}=\hat{A}^\dagger\hat{A}$。

（1）求证$\hat{B}^2=\hat{B}$；

（2）求在$\hat{B}$表象中$\hat{A}$和$\hat{B}$的表达式。

二、（$30'$）粒子在势场$V(x)=A|x|^n\quad(-\infty <x<\infty,A>0)$中运动，试用不确定度关系估算基态能量。

三、（$30'$）设体系的哈密顿量$\hat{H}$从依赖于某一参量$\lambda$，又设体系处于某一束缚定态，其能量和本征函数分别记为$E_n$和$\psi_n(r)$。

（1）证明费曼——海尔曼定理：
$$\frac{\partial E_n}{\partial \lambda}=\int \psi^*_n(\vec{r})\frac{\partial \hat{H}}{\partial \lambda}\psi_n(\vec{r})d\vec{r}$$

（2）利用费曼——海尔曼定理，求氢原子各束缚态的平均动能。\\
（提示：氢原子能级公式$E_n=-\frac{\mu e^4}{2\hbar^2}\cdot\frac{1}{n^2}$）

四、（$30'$）粒子在二维无限深方势阱中运动，$V=\begin{cases}0,&0<x<a,0<y<a\\ \infty,&\text{其他}\end{cases}$。加上微扰$H'=\lambda xy$后，求基态和第一激发态能级的一级微扰修正。

五、（$30'$）设粒子所处的外场均匀但与时间有关。即$V=V(t)$，与坐标$\vec{r}$无关。试将体系的含时薛定鄂方程分离变量，求方程解$\psi(\vec{r},t)$的一般形式，并取$V(t)=V_0\cos(\omega t)$，以一维情况为例说明$V(t)$的影响是什么。




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\section*{2006甲A解答}
一、（$30'$）两个线性算符$\hat{A}$和$\hat{B}$满足下列关系：$\hat{A}^2=0,\quad \hat{A}\hat{A}^\dagger+\hat{A}^\dagger \hat{A}=1,\quad \hat{B}=\hat{A}^\dagger\hat{A}$。

（1）求证$\hat{B}^2=\hat{B}$；

（2）求在$\hat{B}$表象中$\hat{A}$和$\hat{B}$的表达式。

证：

（1）
$$\hat{B}^2=\hat{A}^\dagger\hat{A}\hat{A}^\dagger\hat{A}=\hat{A}^\dagger
(1-\hat{A}^\dagger\hat{A})\hat{A}=\hat{A}^\dagger(\hat{A}-\hat{A}^\dagger\hat{A}^2)
=\hat{A}^\dagger\hat{A}=\hat{B}\qquad (\hat{A}^2=0)$$

（2）
{ 充分利用好上下条件，第一问就是第二问的条件，也提供了第二问的思路。这是出题人为降低难度故意设的吧。}

$\hat{B}^2=\hat{B},\quad \hat{B}^2-\hat{B}=0$，设$\hat{B}|\psi\rangle=\lambda|\psi\rangle$，$\lambda^2-\lambda=0,\quad \lambda=0,\quad \lambda=1$，有：
$$B=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$$
线性代数的内容，是这样吗？觉得有些问题。$\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$是等效的？？？？？？

设$\hat{A}=\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}$，
$$\hat{A}^\dagger\hat{A}=\begin{pmatrix}a^*&c^*\\b^*&d^*\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}a^*a+b^*b&a^*c+b^*d\\ c^*a+d^*b&c^*c+d^*d\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}
\qquad a=0,b=0$$
$$\hat{A}^2=0\qquad
\begin{pmatrix}0&c\\0&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&c\\0&d\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}0&cd\\0&d^2\end{pmatrix}=0
\qquad \text{又}c^*c+d^*d=1$$
$$d=0\quad c^*c=1 \quad A=\begin{pmatrix}0&e^{i\varphi}\\0&0\end{pmatrix} $$

二、（$30'$）粒子在势场$V(x)=A|x|^n\quad(-\infty <x<\infty,A>0)$中运动，试用不确定度关系估算基态能量。

解：
$$E\approx\frac{(\Delta p)^2}{2m}+A(\Delta x)^n\approx\frac{\hbar^2}{8m}\frac{1}{(\Delta x)^2}+A(\Delta x)^n\qquad
\Delta x\Delta p=\frac{\hbar}{2}$$

{ $E$是关于$\Delta x$的函数，要算基态能量就是要找到$E$的最小值（极小值）。于是：$\frac{\partial E}{\partial \Delta x}=0$，求出$\Delta x$。}
$$\frac{\partial E}{\partial \Delta x}=-2\cdot\frac{\hbar^2}{8m}\frac{1}{(\Delta x)^3}+An(\Delta x)^{n-1}=0 
\qquad An(\Delta x)^{n+2}=\frac{\hbar^2}{4m}$$
$$ \Delta x=\left(\frac{\hbar^2}{4mAn}\right)^\frac{1}{n+2}
\qquad \text{或} (\Delta x)^{n+2}=\frac{\hbar^2}{4mAn}$$
\begin{align*}
E&\approx \frac{\hbar^2}{8m}\left(\frac{\hbar^2}{4mnA}\right)^{-\frac{2}{n+2}}
+A\left(\frac{\hbar^2}{4mnA}\right)^{\frac{n}{n+2}}
=\frac{\hbar^2}{8m}\left(\frac{\hbar^2}{4mnA}\right)^{-\frac{2}{n+2}}
+A\left(\frac{\hbar^2}{4mnA}\right)\left(\frac{\hbar^2}{4mnA}\right)^{-\frac{2}{n+2}}\\
&=\left(\frac{\hbar^2}{8m}+\frac{\hbar^2}{4mn}\right)\left(\frac{\hbar^2}{4mnA}\right)^{-\frac{2}{n+2}}
=\frac{n+2}{2}\left(\frac{\hbar^2}{4mn}\right)\left(\frac{\hbar^2}{4mnA}\right)^{-\frac{2}{n+2}}
=\frac{n+2}{2}A\left(\frac{\hbar^2}{4mnA}\right)^{-\frac{2}{n+2}}\\
&=\frac{n+2}{2}\left(\frac{\hbar^2}{4mn}\frac{A^{\frac{n+2}{n}}}{A}\right)^{\frac{n}{n+2}}
=\frac{n+2}{2}\left(\frac{\hbar^2A^{\frac{2}{n}}}{4mn}\right)^{\frac{n}{n+2}}
\end{align*}
{ 感觉这题很无聊，想必是在某个问题讨论的某篇论文里抽取的！}

三、（$30'$）设体系的哈密顿量$\hat{H}$从依赖于某一参量$\lambda$，又设体系处于某一束缚定态，其能量和本征函数分别记为$E_n$和$\psi_n(r)$。

（1）证明费曼——海尔曼定理：
$$\frac{\partial E_n}{\partial \lambda}=\int \psi^*_n(\vec{r})\frac{\partial \hat{H}}{\partial \lambda}\psi_n(\vec{r})d\vec{r}$$

（2）利用费曼——海尔曼定理，求氢原子各束缚态的平均动能。\\
（提示：氢原子能级公式$E_n=-\frac{\mu e^4}{2\hbar^2}\cdot\frac{1}{n^2}$）

证：

（1）

{ 一般表示：}

能量本征方程为，$\hat{H}\psi_n(\vec{r})=E_n\psi_n(\vec{r})$，两边对$\lambda$求导：
$$\frac{\partial \hat{H}}{\partial\lambda}\psi_n+\hat{H}\frac{\partial\psi_n}{\partial\lambda}=\frac{\partial E_n}{\partial\lambda}\psi_n+E_n\frac{\partial\psi_n}{\partial\lambda}$$
两边左乘$\psi^*_n$并全空间积分为：
$$\int \psi^*_n\frac{\partial\hat{H}}{\partial\lambda}\psi_n d\vec{r}+\int \psi^*_n\hat{H}\frac{\partial\psi_n}{\partial\lambda}d\vec{r}=\frac{\partial E_n}{\partial\lambda}\int \psi^*_n\psi_n d\vec{r}+E_n\int\psi^*_n\frac{\partial \psi_n}{\partial\lambda}d\vec{r}$$
由$\int\psi^*_n\psi_n=1,\quad \int\psi^*\hat{H}\frac{\partial\psi_n}{\partial\lambda}d\vec{r}=\int (\hat{H}\psi_n)^*\frac{\partial \psi_n}{\partial \lambda}d\vec{r}=E_n\int \psi^*_n\frac{\partial \psi^*_n}{\partial\lambda}d\vec{r}$，有：
$$\frac{\partial E_n}{\partial\lambda}=\int \psi^*_n\frac{\partial\hat{H}}{\partial\lambda}\psi_n d\vec{r}$$

{ 狄拉克表示：}
$$\frac{\partial E_n}{\partial \lambda}=\langle n|\frac{\partial \hat{H}}{\partial \lambda}|n\rangle$$

能量本征方程为，$\hat{H}|n\rangle=E_n|n\rangle$，两边对$\lambda$求导：
$$\frac{\partial\hat{H}}{\partial \lambda}|n\rangle+\hat{H}\frac{\partial}{\partial\lambda}|n\rangle=\frac{\partial E_n}{\partial \lambda}|n\rangle+E_n\frac{\partial}{\partial\lambda}|n\rangle$$
两边左乘$\langle n|$为：
$$\langle n|\frac{\partial\hat{H}}{\partial \lambda}|n\rangle+\langle n|\hat{H}\frac{\partial}{\partial\lambda}|n\rangle=\frac{\partial E_n}{\partial \lambda}\langle n|n\rangle+E_n\langle n|\frac{\partial}{\partial\lambda}|n\rangle$$
由$\langle n|n\rangle=1,\langle n|\hat{H}=E_n\langle n|$，有：
$$\langle n|\frac{\partial\hat{H}}{\partial \lambda}|n\rangle+E_n\langle n|\frac{\partial}{\partial \lambda}|n\rangle=\frac{\partial E_n}{\partial\lambda}+E_n\langle n|\frac{\partial}{\partial \lambda}|n\rangle$$
即：
$$\frac{\partial E_n}{\partial \lambda}=\langle n|\frac{\partial \hat{H}}{\partial \lambda}|n\rangle$$
{ 看到狄拉克符号的好处吧，简洁明了。这也是形式突出重点，突出思路的经典一例。}

（2）
$$\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\vec{r})$$
取$\hbar$为参量：
$$\frac{\partial E_n}{\partial\hbar}=\langle n|\frac{\partial\hat{H}}{\partial\hbar}|n\rangle=\langle n|-\frac{\hbar^2}{m}\nabla^2|n\rangle
=\frac{2}{\hbar}\langle n|-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla|n\rangle
=\frac{2}{\hbar}\langle T\rangle_n$$
又$E_n=-\frac{\mu e^4}{2\hbar^2}\cdot\frac{1}{n^2},\quad \frac{\partial E_n}{\partial \hbar}=\frac{\mu e^4}{\hbar^3}\cdot\frac{1}{n^2}$，有：
$$\frac{2}{\hbar}\langle T\rangle_n=\frac{\mu e^4}{\hbar^3}\cdot\frac{1}{n^2}\qquad
\langle T\rangle_n=\frac{\mu e^4}{2\hbar}\cdot\frac{1}{n^2}=-E_n$$

四、（$30'$）粒子在二维无限深方势阱中运动，$V=\begin{cases}0,&0<x<a,0<y<a\\ \infty,&\text{其他}\end{cases}$。加上微扰$H'=\lambda xy$后，求基态和第一激发态能级的一级微扰修正。

解：
$$\psi_n^0=\frac{2}{a}\sin\frac{n_1\pi x}{a}\sin\frac{n_2\pi x}{a}
\qquad E_n^0=\frac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2}(n_1^2+n_2^2)$$
$$\psi_1^0=\frac{2}{a}\sin\frac{\pi x}{a}\sin\frac{\pi y}{a} \qquad
E_1^0=\frac{\pi^2\hbar^2}{ma^2}$$
$$E_1^1=\langle \psi_1^0|H'|\psi_1^0\rangle=\frac{4\lambda}{a^2}\int_0^ax\sin^2\frac{\pi x}{a} dx\int_0^ay\sin^2\frac{\pi y}{a}dy
=\frac{4\lambda}{a^2}\cdot\frac{a^2}{4}\cdot\frac{a^2}{4}=\frac{\lambda a^2}{4}$$
$\psi_2^0$有简并，$n_1=1,n_2=2$或$n_1=2,n_1=1$，即：
$$\phi_1=\psi_{21}^0=\frac{2}{a}\sin\frac{\pi x}{a}\sin\frac{2\pi y}{a}\quad
\text{或}\quad \phi_2=\psi_{22}^0=\frac{2}{a}\sin\frac{2\pi x}{a}\sin\frac{\pi y}{a}\qquad E_2^0=\frac{5\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$$
微扰矩阵元为：
$$H_{11}'=H_{22}'=\langle \phi_1|H'|\phi_1\rangle=\frac{4\lambda}{a^2}\int_0^a x\sin^2\frac{\pi x}{a}dx\int_0^a y\sin^2\frac{2\pi y}{a}dy$$
$$H'_{21}=H'_{12}=\langle \phi_1|H'|\phi_2\rangle=\frac{4\lambda}{a}\int_0^a x\sin\frac{\pi x}{a}\sin\frac{2\pi x}{a}dx\int_0^ay\sin\frac{\pi y}{a}\sin\frac{2\pi y}{a}dy=\frac{2^8\lambda a^2}{3^4 \pi^4}=B$$
$$\begin{vmatrix}A-E'&B\\B&A-E'\end{vmatrix}=0$$
$$E_{21}^1=A-B=(\frac{1}{4}-\frac{2^8}{3^4\pi^4})\lambda a^2\qquad
E_{22}^1=A+B=(\frac{1}{4}+\frac{2^8}{3^4\pi^4})\lambda a^2$$
?????????????未完？？？

五、（$30'$）设粒子所处的外场均匀但与时间有关。即$V=V(t)$，与坐标$\vec{r}$无关。试将体系的含时薛定鄂方程分离变量，求方程解$\psi(\vec{r},t)$的一般形式，并取$V(t)=V_0\cos(\omega t)$，以一维情况为例说明$V(t)$的影响是什么。

解：

薛定鄂方程为：
$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(\vec{r},t)=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(t)\right]\psi(\vec{r},t)$$
将$\psi(\vec{r},t)$分离变量，$\psi(\vec{r},t)=\psi(\vec{r})\psi(t)$，有：
$$i\hbar\psi'(t)\psi(r)=-\frac{\hbar^2}{2m}\psi''(\vec{r})\psi(t)+V(t)\psi(t)\psi(\vec{r})$$
左右两边除以$\psi(\vec{r})\psi(t)$得：
$$i\hbar\frac{\psi'(t)}{\psi(t)}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\psi''(\vec{r})}{\psi(\vec{r})}+V(t)
\qquad i\hbar\frac{\psi'(t)}{\psi(t)}-V(t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\psi''(\vec{r})}{\psi\vec{r}}$$
$\vec{r},t$是彼此无关的变量，而等式要成立，说明各自相关的式子的值为共同的常数，令为$a$，有：
$$i\hbar\frac{\psi'(t)}{\psi(t)}-V(t)=a
\qquad -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\psi''(\vec{r})}{\psi(r)}=a$$
对于$i\hbar\frac{\psi'(t)}{\psi(t)}-V(t)=a$，有：
$$i\hbar\frac{\psi'(t)}{\psi(t)}=a+V(t)\quad
i\hbar\ln\psi(t)=\int (a+V(t))dt\quad
i\hbar \ln \psi(t)=at+\int V(t)dt $$
$$\ln \psi(t)=\frac{at+\int V(t)dt}{i\hbar}\qquad
\psi(t)=e^{-\frac{i(at+\int V(t)dt)}{\hbar}}=e^{-\frac{iat}{\hbar}-\frac{i\int V(t)dt}{\hbar}}$$
对于$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\psi''(\vec{r})}{\psi(\vec{r})}=a$，有：
$$\psi''(x)+\frac{2ma}{\hbar^2}\psi(x)=0\qquad
\text{令}k^2=\frac{2ma}{\hbar}$$
？？？？？？？？？？？？？？？
{ 这个过程的思路与求定态薛定鄂方程的思路是一样的。}
